La Parabola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Elementos de la parábola

Foco

Es el punto fijo F.

Directriz

Es la recta fija D.

Parámetro

Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.

Eje

Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vértice

Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

Radio vector

Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Ecuación reducida de la parábola

El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de coordenadas

Si:

Si:

El eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el vértice con el origen de coordenadas

Si:

Si:

Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen

Parábola con eje paralelo a OY, y vértice distinto al origen

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

La Circunferencia

La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio.

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relación:

Para que una expresión del tipo: sea una circunferencia debe cumplir que:

1. Los coeficientes de x² e y² sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.

2. No tenga término en xy.

3.

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

Mateplac11: Relacion De Las Matematicas Con El Origami

Mateplac11: Relacion De Las Matematicas Con El Origami

http://web-japan.org/nipponia/nipponia41/es/feature/feature09.html

ONCE UNO .... Y EL ORIGAMI .

Relacion De Las Matematicas Con El Origami

Gran parte del origami se basa en las matemáticas, es que la ciencia de los números puede sorprendernos con formas de papel que nunca habríamos pensado que pudieran existir.

Aplicación de los principios matemáticos modernos al origami

“Despliegue una creación de origami y mire los dobleces: comprobará que son muchos polígonos superpuestos. Cuando la pieza está terminada, forma un poliedro, figura con muchas superficies planas; y cuando el papel se desdobla y deja a la vista los pliegues, forma lo que los matemáticos llaman una superficie topológica 2-dimensional. Si uno considera que las creaciones de origami son superficies topológicas, se abren posibilidades interesantes. Esa fue la primera razón por la que empecé con el origami”, dice el diseñador de origami Azuma Hideaki.

Azuma se licenció en geometría en el departamento de matemáticas de la Escuela de Posgrado de Ciencias de la Universidad de Tohoku. Durante los siete años que le costó conseguir su maestría, sus estudios se centraron casi exclusivamente en la teoría de las ideas topológicas. Él dice que son muy importantes en el estudio de las matemáticas modernas en su conjunto, no sólo en geometría.

Por razones familiares regresó a su casa en Nara, y allí vio un libro de origami que había utilizado cuando era pequeño. Entonces entendió la conexión entre las superficies topológicas y el origami.

Su planteamiento en el origami es insólito: “En general se suele empezar con una hoja de papel cuadrada. Pero, ¿por qué no utilizar, por ejemplo, una rectangular? Y, en lugar de doblar el papel en muchas líneas simétricas, como hace el origami convencional, ¿y si buscamos la simetría alrededor de un único punto? Las instrucciones del origami siguen una serie de triángulos rectángulos. Pero, claro está, si se hacen otro tipo de triángulos, sigue siendo origami”.

Esta espiral evita los triángulos rectángulos tan habituales en el origami convencional: todos sus triángulos tiene un ángulo de más de 90 grados. Azuma dice que la espiral se basa en los principios matemáticos de transformación de Fourier, lo que le llevó a llamarla “Circunvolución”.

 

Después de muchas pruebas, Azuma creó la espiral fotografiada a la derecha. Esto lo lanzó a su propio mundo de origami.

“Siempre intento acercarme al modelo de superficie topológica que veo en mi mente”.

“Una vez decididos los ángulos que voy a hacer, el modelo final se desarrolla por sí mismo. Mientras lo hago, puedo cambiar un ángulo o la manera en que haré un doblez, pero la sensación es distinta de la que me produce el método arbitrario”.

El origami de Azuma posee una extraña belleza que mana de su estudio de las matemáticas.

El origami mantiene la mente despierta

El catedrático Kawashima Ryuta está especializado en la ciencia del cerebro y lleva a cabo su investigación en el Instituto del Desarrollo, Envejecimiento y Cáncer de la Universidad de Tohoku. Ha demostrado que hacer origami aumenta el flujo sanguíneo en la zona prefrontal del cerebro contribuyendo así a su mejor funcionamiento. Por eso, muchas asociaciones de personas de la tercera edad han adoptado esta práctica. La Red de Mayores de Sendai celebra una vez a la semana “sesiones de charla y origami”. Sus miembros, que tienen desde 60 a más de 80 años, exhiben este eslogan: “Origami divertido, tres veces en la vida”. ¿Qué quiere decir? Los niños juegan con el origami; cuando se convierten en padres, enseñan a sus hijos; y, ya de ancianos, retoman esta actividad.

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