La Circunferencia

La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio.

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relación:

Para que una expresión del tipo: sea una circunferencia debe cumplir que:

1. Los coeficientes de x² e y² sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.

2. No tenga término en xy.

3.

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

Mateplac11: Relacion De Las Matematicas Con El Origami

Mateplac11: Relacion De Las Matematicas Con El Origami

http://web-japan.org/nipponia/nipponia41/es/feature/feature09.html

ONCE UNO .... Y EL ORIGAMI .

Relacion De Las Matematicas Con El Origami

Gran parte del origami se basa en las matemáticas, es que la ciencia de los números puede sorprendernos con formas de papel que nunca habríamos pensado que pudieran existir.

Aplicación de los principios matemáticos modernos al origami

“Despliegue una creación de origami y mire los dobleces: comprobará que son muchos polígonos superpuestos. Cuando la pieza está terminada, forma un poliedro, figura con muchas superficies planas; y cuando el papel se desdobla y deja a la vista los pliegues, forma lo que los matemáticos llaman una superficie topológica 2-dimensional. Si uno considera que las creaciones de origami son superficies topológicas, se abren posibilidades interesantes. Esa fue la primera razón por la que empecé con el origami”, dice el diseñador de origami Azuma Hideaki.

Azuma se licenció en geometría en el departamento de matemáticas de la Escuela de Posgrado de Ciencias de la Universidad de Tohoku. Durante los siete años que le costó conseguir su maestría, sus estudios se centraron casi exclusivamente en la teoría de las ideas topológicas. Él dice que son muy importantes en el estudio de las matemáticas modernas en su conjunto, no sólo en geometría.

Por razones familiares regresó a su casa en Nara, y allí vio un libro de origami que había utilizado cuando era pequeño. Entonces entendió la conexión entre las superficies topológicas y el origami.

Su planteamiento en el origami es insólito: “En general se suele empezar con una hoja de papel cuadrada. Pero, ¿por qué no utilizar, por ejemplo, una rectangular? Y, en lugar de doblar el papel en muchas líneas simétricas, como hace el origami convencional, ¿y si buscamos la simetría alrededor de un único punto? Las instrucciones del origami siguen una serie de triángulos rectángulos. Pero, claro está, si se hacen otro tipo de triángulos, sigue siendo origami”.

Esta espiral evita los triángulos rectángulos tan habituales en el origami convencional: todos sus triángulos tiene un ángulo de más de 90 grados. Azuma dice que la espiral se basa en los principios matemáticos de transformación de Fourier, lo que le llevó a llamarla “Circunvolución”.

 

Después de muchas pruebas, Azuma creó la espiral fotografiada a la derecha. Esto lo lanzó a su propio mundo de origami.

“Siempre intento acercarme al modelo de superficie topológica que veo en mi mente”.

“Una vez decididos los ángulos que voy a hacer, el modelo final se desarrolla por sí mismo. Mientras lo hago, puedo cambiar un ángulo o la manera en que haré un doblez, pero la sensación es distinta de la que me produce el método arbitrario”.

El origami de Azuma posee una extraña belleza que mana de su estudio de las matemáticas.

El origami mantiene la mente despierta

El catedrático Kawashima Ryuta está especializado en la ciencia del cerebro y lleva a cabo su investigación en el Instituto del Desarrollo, Envejecimiento y Cáncer de la Universidad de Tohoku. Ha demostrado que hacer origami aumenta el flujo sanguíneo en la zona prefrontal del cerebro contribuyendo así a su mejor funcionamiento. Por eso, muchas asociaciones de personas de la tercera edad han adoptado esta práctica. La Red de Mayores de Sendai celebra una vez a la semana “sesiones de charla y origami”. Sus miembros, que tienen desde 60 a más de 80 años, exhiben este eslogan: “Origami divertido, tres veces en la vida”. ¿Qué quiere decir? Los niños juegan con el origami; cuando se convierten en padres, enseñan a sus hijos; y, ya de ancianos, retoman esta actividad.

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LA LINEA RECTA

LA LINEA RECTA

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Introducción

El propósito en este capítulo, es presentar las diferentes formas de la línea recta.  Antes de hacerlo, se presentan algunos conceptos preliminares como son el de distancia entre dos puntos del plano, coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada, así como también los conceptos de pendiente e inclinación de una recta en el plano cartesiano. Se asume conocidos por parte del lector, los conceptos de plano cartesiano y la localización de puntos en el mismo.

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4.1. TEOREMA 1 (Distancia Entre Dos Puntos Del Plano)
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.     La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =  esta dada por: (1) Demostración 4.1. En la figura 4.1. hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) asi como también el segmento de recta    fig 4.1. Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar la relación pitagórica: Pero:  ;  y  Luego,        Observaciones: i.      En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor no          negativo. ii.     Nótese además que el orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y         P2 no afecta el valor de la distancia. iii.    Si el segmento rectilíneo determinado por los puntos P1 y P2 es paralelo al eje x        (fig.4.2.)  entonces  puesto que y1 = y2     fig. 4.2. Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y (fig. 4.2. (b)), entonces  puesto que x2 = x1

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4.2. COORDENADAS DEL PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO.
Consideremos el segmento  cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) (fig. 4.3.)     fig. 4.3. Sea M (x, y) un punto sobre el segmento  y llamemos  (1)     Se trata entonces de encontrar las coordenadas x e y del punto M en términos de  y de las coordenadas de los puntos P1 y P2.     Al proyectar los puntos P1, P2 y M sobre los ejes coordenados, resultan los triángulos rectángulos semejantes P2MH y P1MQ. Entonces podemos escribir :      (2)     Ahora, de (1)  (Observese que cuando M se mueve de P1 a P2,  varía de manera continua tomando valores entre 0 y 1)     En consecuencia,  que al sustituir en (2) resulta:      De donde,  (3) y  (4)     Al simplificar las ecuaciones (3) y (4) se obtienen finalmente:      (5) (6)         Las ecuaciones (5) Y (6) resuelven el problema.         Observaciones:    i.     Nótese que para cada valor de  las ecuaciones (5) y (6) nos dan un          punto  sobre el segmento P1P2.  ii.    En muchas ocasiones, el segmento P1P2 se expresa en notación de conjunto en la         siguiente forma:      iii.    Nótese finalmente, que cuando M coincide con el punto medio de , entonces  y en consecuencia, e            Es decir,  e             que representan las coordenadas del punto medio del segmento .

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4.3. PENDIENTE E INCLINACIÓN DE UNA RECTA
Definiciones   i.     El ángulo  que forma una recta L con el eje x medido en el sentido          positivo  del eje a la derecha L, se llama: ANGULO DE INCLINACIÓN de la recta L         (fig. 4.5.).   ii.   Si L es una recta no vertical, la PENDIENTE de la recta L, denotada por m, se define         como el valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir,  (1).   Siendo          El número m se conoce también con el nombre de COEFICIENTE ANGULAR de la recta          L. Observaciones:   i.    Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es 90º y por lo tanto su pendiente          m = tan =90º no está definida.   (a)                                    (b) fig. 4.4.    ii.   Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L         (fig. 5 (b) ), entonces de acuerdo a la definición de pendiente se tiene: (2)        Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo haremos uso indistinto         de  ellas. Nótese que el coeficiente angular m es igual al incremento de ordenadas         dividido por el incremento de abscisas.   iii.  El nombre de pendiente de una recta esta justificado. Cuando se dice que un camino         tiene la pendiente 5% , significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5         unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es         5/100.   iv.  La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de         inclinación de la recta, así:        Si q = 0o entonces m= 0 (fig. 4.6. (a))        Si 0o < q < 90o entonces m > 0 (fig. 4.6. (b))        Si 90º < q < 180o entonces m < 0 (fig. 4.6. (c))     fig. 4.6.   v.   El valor de la pendiente de una recta no depende de la elección particular de los          puntos P1 y P2 escogidos sobre ellas. Dados 3 puntos P1, P2 y P3 del plano, se dice que son COLINEALES si y solo si, la pendiente determinada por P1 y P2 es igual a la determinada por P2 y P3.

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